ユークリッド原論 第1巻

1. 直線 EF が平行な 2 直線 AB、CD に交わるとする。主張：錯角 AGH、GHD は等しく、外角 EGB は同じ側の内対角 GHD に等しく、同じ側の内角 BGH、GHD の和は 2 直角に等しい。（G、H、B をドラッグしてみてください。）
2. 角 AGH が角 GHD に等しくなければ、角 AGH が大きいとする。それぞれに角 BGH を加えると、角 AGH、BGH の和は角 BGH、GHD の和より大きい。
3. しかし角 AGH、BGH の和は 2 直角に等しい。よって角 BGH、GHD の和は 2 直角より小さい。

   命題 I.13

   命題 I.13：直線が直線の上に立って角をつくるならば、2 直角か、または 2 直角に等しい角をつくる。
4. ところが 2 直角より小さい角の側に限りなく延長された直線は交わる。すると AB、CD は交わることになるが、これらは平行で交わらないから不可能である。よって角 AGH は角 GHD に等しい。

   公準 5定義 23

   公準 5：1 本の直線が 2 本の直線と交わり、同じ側の内角の和を 2 直角より小さくするならば、その 2 直線を限りなく延長すると、2 直角より小さい角のある側で交わること。

   定義 23：平行線とは、同じ平面上にあって、両方向に限りなく延長しても、どちらの方向でも互いに交わらない直線である。
5. また角 AGH はその対頂角 EGB に等しい。よって角 EGB も角 GHD に等しい。

   命題 I.15公理 1

   命題 I.15：2 直線が交われば、対頂角は互いに等しい。

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
6. それぞれに角 BGH を加えると、角 EGB、BGH の和は角 BGH、GHD の和に等しい。前者は 2 直角に等しいから、角 BGH、GHD の和も 2 直角に等しい。

   公理 2命題 I.13

   公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。

   命題 I.13：直線が直線の上に立って角をつくるならば、2 直角か、または 2 直角に等しい角をつくる。

これが証明すべきことであった。