Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.2 · Aufgabe

An einem gegebenen Punkt eine einer gegebenen Strecke gleiche Strecke hinzulegen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Der gegebene Punkt sei A, die gegebene Strecke BC. Man soll an den Punkt A eine Strecke gleich BC hinlegen.
  2. Vom Punkt A nach dem Punkt B ziehe man die Strecke AB.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. Über AB errichte man das gleichseitige Dreieck DAB.
    Proposition I.1
    Proposition I.1: Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten.
  4. Man verlängere DA, DB geradlinig zu den Strecken AE, BF.
    Postulat 2
    Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
  5. Mit dem Mittelpunkt B und dem Abstand BC zeichne man den Kreis CGH; er schneidet BF in G.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  6. Ferner zeichne man mit dem Mittelpunkt D und dem Abstand DG den Kreis GKL; er schneidet AE in L.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  7. Da der Punkt B Mittelpunkt des Kreises CGH ist, ist BC gleich BG.
    Definition 15
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
  8. Ebenso ist, da der Punkt D Mittelpunkt des Kreises GKL ist, DL gleich DG.
    Definition 15
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
  9. Davon ist DA gleich DB; nimmt man DA, DB von den gleichen Strecken DL, DG weg, so ist der Rest AL gleich dem Rest BG.
    Axiom 3
    Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
  10. Wie gezeigt, ist auch BC gleich BG; also ist jede der Strecken AL, BC gleich BG. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich; also ist auch AL gleich BC. Damit ist an den gegebenen Punkt A die Strecke AL gleich der gegebenen Strecke BC hingelegt.
    Axiom 1
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.