命題 I.2 · 作図題
与えられた点に、与えられた直線に等しい直線を置くこと。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- A を与えられた点、BC を与えられた直線とする。点 A に BC に等しい直線を置かなければならない。
- 点 A から点 B へ直線 AB を引く。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- AB の上に正三角形 DAB を作図する。命題 I.1命題 I.1：与えられた有限な直線の上に正三角形を作図すること。
- DA、DB を一直線に延長して直線 AE、BF とする。公準 2公準 2：有限な直線を連続して一直線に延長すること。
- 中心 B、距離 BC で円 CGH を描く。それは BF と G で交わる。公準 3公準 3：任意の中心と距離で円を描くこと。
- また中心 D、距離 DG で円 GKL を描く。それは AE と L で交わる。公準 3公準 3：任意の中心と距離で円を描くこと。
- 点 B は円 CGH の中心だから、BC は BG に等しい。定義 15定義 15：円とは 1 本の線に囲まれた平面図形で、図形の内部にある 1 点からその線へ引いたすべての線分が互いに等しいものである。
- また点 D は円 GKL の中心だから、DL は DG に等しい。定義 15定義 15：円とは 1 本の線に囲まれた平面図形で、図形の内部にある 1 点からその線へ引いたすべての線分が互いに等しいものである。
- このうち DA は DB に等しい。等しい DL、DG からそれぞれ DA、DB を引けば、残りの AL は残りの BG に等しい。公理 3公理 3：等しいものから等しいものが引かれれば、残りは等しい。
- BC も BG に等しいことはすでに示した。よって AL、BC はどちらも BG に等しい。同じものに等しいものは互いにも等しいから、AL は BC にも等しい。こうして与えられた点 A に、与えられた直線 BC に等しい直線 AL が置かれた。公理 1公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
これが作図すべきことであった。