Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.2 · Problème

Placer en un point donné une droite égale à une droite donnée.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit A le point donné et BC la droite donnée. Il faut placer au point A une droite égale à BC.
  2. Du point A au point B, menons la droite AB.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  3. Sur AB, construisons le triangle équilatéral DAB.
    Proposition I.1
    Proposition I.1 : Sur une droite finie donnée, construire un triangle équilatéral.
  4. Prolongeons DA, DB en ligne droite par les droites AE, BF.
    Demande 2
    Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
  5. Du centre B et de l'intervalle BC, décrivons le cercle CGH ; il coupe BF en G.
    Demande 3
    Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
  6. De nouveau, du centre D et de l'intervalle DG, décrivons le cercle GKL ; il coupe AE en L.
    Demande 3
    Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
  7. Puisque le point B est le centre du cercle CGH, BC est égale à BG.
    Définition 15
    Définition 15 : Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
  8. De même, puisque le point D est le centre du cercle GKL, DL est égale à DG.
    Définition 15
    Définition 15 : Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
  9. Or DA est égale à DB ; en retranchant DA, DB des égales DL, DG, le reste AL est égal au reste BG.
    Notion commune 3
    Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.
  10. Mais on a montré que BC est aussi égale à BG ; donc chacune des droites AL, BC est égale à BG. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles ; donc AL est aussi égale à BC. On a donc placé au point donné A la droite AL égale à la droite donnée BC.
    Notion commune 1
    Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.