साध्य I.2 · रचना
दिए गए बिंदु पर, दी गई सरल रेखा के बराबर एक सरल रेखा रखना।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए A दिया गया बिंदु है और BC दी गई सरल रेखा है। बिंदु A पर BC के बराबर एक सरल रेखा रखनी है।
- बिंदु A से बिंदु B तक सरल रेखा AB मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- AB पर समबाहु त्रिभुज DAB बनाइए।साध्य I.1साध्य I.1: दी गई सांत सरल रेखा पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना करना।
- DA, DB को सीध में बढ़ाकर सरल रेखाएँ AE, BF बनाइए।अभिगृहीत 2अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।
- केंद्र B और दूरी BC से वृत्त CGH खींचिए; यह BF को G पर काटता है।अभिगृहीत 3अभिगृहीत 3: किसी भी केंद्र और किसी भी दूरी से वृत्त खींचा जा सकता है।
- फिर केंद्र D और दूरी DG से वृत्त GKL खींचिए; यह AE को L पर काटता है।अभिगृहीत 3अभिगृहीत 3: किसी भी केंद्र और किसी भी दूरी से वृत्त खींचा जा सकता है।
- चूँकि बिंदु B वृत्त CGH का केंद्र है, इसलिए BC, BG के बराबर है।परिभाषा 15परिभाषा 15: वृत्त एक ही रेखा से घिरी हुई ऐसी समतल आकृति है कि आकृति के भीतर के एक बिंदु से उस रेखा तक खींची गई सभी सरल रेखाएँ परस्पर बराबर हों।
- फिर, चूँकि बिंदु D वृत्त GKL का केंद्र है, इसलिए DL, DG के बराबर है।परिभाषा 15परिभाषा 15: वृत्त एक ही रेखा से घिरी हुई ऐसी समतल आकृति है कि आकृति के भीतर के एक बिंदु से उस रेखा तक खींची गई सभी सरल रेखाएँ परस्पर बराबर हों।
- इनमें DA, DB के बराबर है; बराबर DL, DG में से DA, DB घटाने पर शेष AL शेष BG के बराबर है।स्वयंसिद्ध 3स्वयंसिद्ध 3: यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं।
- पहले दिखाया जा चुका है कि BC भी BG के बराबर है; अतः AL और BC दोनों BG के बराबर हैं। जो एक ही वस्तु के बराबर हों वे परस्पर भी बराबर होते हैं; इसलिए AL भी BC के बराबर है। इस प्रकार दिए गए बिंदु A पर दी गई सरल रेखा BC के बराबर सरल रेखा AL रख दी गई।स्वयंसिद्ध 1स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
यही रचना करनी थी।