Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.30 · Lehrsatz

Derselben geraden Linie parallele gerade Linien sind auch einander parallel.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Jede der Geraden AB, CD sei parallel zu EF. Behauptung: Auch AB ist parallel zu CD. (Ziehen Sie die Punkte.)
  2. Die Gerade GK falle auf sie.
  3. Da die Gerade GK auf die parallelen Geraden AB, EF fällt, ist der Winkel AGK gleich dem Winkel GHF.
    Proposition I.29
    Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
  4. Ebenso ist, da die Gerade GK auf die parallelen Geraden EF, CD fällt, der Winkel GHF gleich dem Winkel GKD.
    Proposition I.29
    Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
  5. Also ist auch der Winkel AGK gleich dem Winkel GKD; und sie sind Wechselwinkel. Also ist AB parallel zu CD.
    Axiom 1Proposition I.27
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
    Proposition I.27: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien einander gleiche Wechselwinkel bildet, dann sind diese geraden Linien einander parallel.