Proposition I.30 · Parallèles à une même droite — Les Éléments d'Euclide

Proposition I.30 · Théorème

Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.

Que chacune des droites AB, CD soit parallèle à EF. Je dis que AB est aussi parallèle à CD. (Essayez de déplacer les points.)
Que la droite GK tombe sur elles.
Puisque la droite GK tombe sur les droites parallèles AB, EF, l'angle AGK est égal à l'angle GHF.
Proposition I.29
Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
De même, puisque la droite GK tombe sur les droites parallèles EF, CD, l'angle GHF est égal à l'angle GKD.
Proposition I.29
Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
Donc l'angle AGK est aussi égal à l'angle GKD ; et ils sont alternes. Donc AB est parallèle à CD.
Notion commune 1Proposition I.27
Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
Proposition I.27 : Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces droites seront parallèles.