साध्य I.30 · प्रमेय
एक ही सरल रेखा के समांतर सरल रेखाएँ परस्पर भी समांतर होती हैं।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए सरल रेखाएँ AB, CD दोनों EF के समांतर हैं। दावा: AB भी CD के समांतर है। (बिंदुओं को खींचकर देखिए।)
- मान लीजिए सरल रेखा GK उन पर पड़ती है।
- चूँकि सरल रेखा GK समांतर सरल रेखाओं AB, EF पर पड़ती है, इसलिए कोण AGK कोण GHF के बराबर है।साध्य I.29साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
- फिर, चूँकि सरल रेखा GK समांतर सरल रेखाओं EF, CD पर पड़ती है, इसलिए कोण GHF कोण GKD के बराबर है।साध्य I.29साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
- अतः कोण AGK भी कोण GKD के बराबर है; और ये एकांतर कोण हैं। इसलिए AB, CD के समांतर है।स्वयंसिद्ध 1साध्य I.27स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।साध्य I.27: यदि दो सरल रेखाओं पर पड़ने वाली एक सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर बनाए, तो वे सरल रेखाएँ परस्पर समांतर होंगी।
यही सिद्ध करना था।