Начала Евклида Книга I

23 определения · 5 постулатов · 5 аксиом · 48 предложений

Предложение I.30 · Теорема

Параллельные одной и той же прямой параллельны и между собой.

Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
  1. Пусть каждая из прямых AB, CD параллельна EF. Утверждается, что и AB параллельна CD. (Попробуйте перетащить точки.)
  2. Пусть на них падает прямая GK.
  3. Так как прямая GK падает на параллельные прямые AB, EF, угол AGK равен углу GHF.
    Предложение I.29
    Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
  4. Далее, так как прямая GK падает на параллельные прямые EF, CD, угол GHF равен углу GKD.
    Предложение I.29
    Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
  5. Значит, и угол AGK равен углу GKD; и они накрест лежащие. Значит, AB параллельна CD.
    Аксиома 1Предложение I.27
    Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
    Предложение I.27: Если прямая, падающая на две прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, то эти прямые будут параллельны между собой.