ユークリッド原論 第1巻

1. 直線 AB、CD がどちらも EF に平行であるとする。主張：AB も CD に平行である。（点をドラッグしてみてください。）
2. 直線 GK をこれらに交わるように引く。
3. 直線 GK は平行な直線 AB、EF に交わるから、角 AGK は角 GHF に等しい。

   命題 I.29

   命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
4. また直線 GK は平行な直線 EF、CD に交わるから、角 GHF は角 GKD に等しい。

   命題 I.29

   命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
5. よって角 AGK も角 GKD に等しく、これらは錯角である。ゆえに AB は CD に平行である。

   公理 1命題 I.27

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。

   命題 I.27：1 直線が 2 直線と交わり、錯角を互いに等しくするならば、その 2 直線は互いに平行である。

これが証明すべきことであった。