Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.31 · Aufgabe

Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Der gegebene Punkt sei A und die gegebene Gerade BC. Man soll durch den Punkt A eine Gerade parallel zu BC ziehen. (Alle Punkte lassen sich ziehen.)
  2. Auf BC nehme man einen beliebigen Punkt D an (er lässt sich ziehen) und ziehe AD.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. An der Geraden DA errichte man im Punkt A den Winkel DAE gleich dem Winkel ADC.
    Proposition I.23
    Proposition I.23: An einer gegebenen Geraden in einem Punkt auf ihr einen einem gegebenen geradlinigen Winkel gleichen geradlinigen Winkel anzutragen.
  4. Man verlängere die Gerade EA geradlinig bis F.
    Postulat 2
    Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
  5. Da die Gerade AD, die auf die zwei Geraden BC, EF fällt, die Wechselwinkel EAD, ADC gleich macht, ist EF parallel zu BC. Also ist durch den gegebenen Punkt A die Gerade EAF parallel zu BC gezogen.
    Proposition I.27
    Proposition I.27: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien einander gleiche Wechselwinkel bildet, dann sind diese geraden Linien einander parallel.