أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC مثلثًا، ولنُخرج أحد أضلاعه BC إلى D. فنقول: إن الزاوية الخارجة ACD مساوية لمجموع الزاويتين الداخلتين المقابلتين CAB، ABC، وإن زوايا المثلث الداخلة الثلاث ABC، BCA، CAB مساوية لقائمتين. (جرّب سحب الرؤوس.)
2. نُخرج من النقطة C الخط CE موازيًا للخط المستقيم AB.

   القضية I.31

   القضية I.31: أن نُخرج من نقطة معلومة خطًا مستقيمًا موازيًا لخط مستقيم معلوم.
3. لأن AB موازٍ لـ CE، وقد وقع عليهما AC، فالزاويتان المتبادلتان BAC، ACE متساويتان.

   القضية I.29

   القضية I.29: الخط المستقيم الواقع على خطين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، والخارجة مساوية للداخلة المقابلة، والداخلتين في جهة واحدة مساويتين لقائمتين.
4. وأيضًا لأن AB موازٍ لـ CE، وقد وقع عليهما الخط BD، فالزاوية الخارجة ECD مساوية للزاوية الداخلة المقابلة ABC.

   القضية I.29

   القضية I.29: الخط المستقيم الواقع على خطين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، والخارجة مساوية للداخلة المقابلة، والداخلتين في جهة واحدة مساويتين لقائمتين.
5. وقد تبيّن أن الزاوية ACE مساوية للزاوية BAC؛ فالزاوية ACD كلها مساوية لمجموع الزاويتين الداخلتين المقابلتين BAC، ABC.

   العلم المتعارف 2

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.
6. نزيد على كلٍّ منهما الزاوية ACB، فمجموع الزاويتين ACD، ACB مساوٍ لمجموع الزوايا الثلاث ABC، BCA، CAB. لكن الزاويتين ACD، ACB مساويتان لقائمتين؛ فزوايا المثلث الثلاث أيضًا مساوية لقائمتين.

   القضية I.13

   القضية I.13: إذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فإنه يحدث إما زاويتين قائمتين وإما زاويتين مساويتين لقائمتين.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.