命题 I.32 · 内角和 — 几何原本

命题 I.32 · 定理

在任意三角形中，若延长一边，则外角等于两个内对角之和，且三角形三个内角之和等于两直角。

红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。

设 ABC 是三角形，把边 BC 延长到 D。断言：外角 ∠ACD 等于两个内对角 ∠CAB、∠ABC 之和，而三角形的三个内角 ∠ABC、∠BCA、∠CAB 之和等于两个直角。（拖动顶点试试。）
过点 C 作 CE 平行于直线 AB。
命题 I.31
命题 I.31：过一已知点作一直线平行于已知直线。
因为 AB 平行于 CE，而 AC 落在它们上面，所以内错角 ∠BAC、∠ACE 相等。
命题 I.29
命题 I.29：一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
又因为 AB 平行于 CE，而直线 BD 落在它们上面，所以外角 ∠ECD 等于内对角 ∠ABC。
命题 I.29
命题 I.29：一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
而 ∠ACE 等于 ∠BAC，所以整个 ∠ACD 等于两个内对角 ∠BAC、∠ABC 之和。
公理 2
公理 2：等量加等量，其和仍相等。
两边各加上 ∠ACB，于是 ∠ACD、∠ACB 之和等于 ∠ABC、∠BCA、∠CAB 三者之和。而 ∠ACD、∠ACB 之和等于两个直角，所以三角形的三个内角之和也等于两个直角。
命题 I.13
命题 I.13：一条直线与另一条直线所成的角，或者是两个直角，或者等于两直角之和。