Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABC — треугольник, и пусть одна из его сторон, BC, продолжена до D. Утверждается, что внешний угол ACD равен двум внутренним противолежащим углам CAB, ABC, а три внутренних угла треугольника, ABC, BCA, CAB, вместе равны двум прямым. (Попробуйте перетащить вершины.)
2. Через точку C проведём CE параллельно прямой AB.

   Предложение I.31

   Предложение I.31: Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой.
3. Так как AB параллельна CE, а AC падает на них, накрест лежащие углы BAC, ACE равны между собой.

   Предложение I.29

   Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
4. Далее, так как AB параллельна CE, а прямая BD падает на них, внешний угол ECD равен внутреннему противолежащему углу ABC.

   Предложение I.29

   Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
5. Но доказано также, что угол ACE равен углу BAC; значит, весь угол ACD равен двум внутренним противолежащим углам BAC, ABC.

   Аксиома 2

   Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
6. Прибавим к каждому угол ACB; тогда углы ACD, ACB равны трём углам ABC, BCA, CAB. Но углы ACD, ACB вместе равны двум прямым; значит, и три угла треугольника вместе равны двум прямым.

   Предложение I.13

   Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.

Что и требовалось доказать.