साध्य I.32 · प्रमेय
किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा बढ़ाने पर बना बहिष्कोण दोनों अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है, और त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर होता है।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है, और उसकी एक भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। दावा: बहिष्कोण ACD दोनों अंतः सम्मुख कोणों CAB, ABC के योग के बराबर है, और त्रिभुज के तीनों अंतः कोण ABC, BCA, CAB मिलकर दो समकोणों के बराबर हैं। (शीर्षों को खींचकर देखिए।)
- बिंदु C से होकर सरल रेखा AB के समांतर CE खींचिए।साध्य I.31साध्य I.31: दिए गए बिंदु से होकर दी गई सरल रेखा के समांतर सरल रेखा खींचना।
- चूँकि AB, CE के समांतर है और AC उन पर पड़ती है, इसलिए एकांतर कोण BAC, ACE परस्पर बराबर हैं।साध्य I.29साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
- फिर, चूँकि AB, CE के समांतर है और सरल रेखा BD उन पर पड़ती है, इसलिए बहिष्कोण ECD अंतः सम्मुख कोण ABC के बराबर है।साध्य I.29साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
- पर कोण ACE कोण BAC के बराबर सिद्ध हो चुका है; अतः पूरा कोण ACD दोनों अंतः सम्मुख कोणों BAC, ABC के योग के बराबर है।स्वयंसिद्ध 2स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
- दोनों में कोण ACB जोड़िए; तो कोण ACD, ACB का योग तीन कोणों ABC, BCA, CAB के योग के बराबर है। पर कोण ACD, ACB का योग दो समकोणों के बराबर है; अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का योग भी दो समकोणों के बराबर है।साध्य I.13साध्य I.13: यदि कोई सरल रेखा किसी सरल रेखा पर खड़ी होकर कोण बनाए, तो वह या तो दो समकोण बनाएगी या दो समकोणों के बराबर कोण।
यही सिद्ध करना था।