Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.32 · Lehrsatz

In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel den beiden inneren gegenüberliegenden Winkeln zusammen gleich, und die drei Innenwinkel des Dreiecks sind zusammen zwei Rechten gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Es sei ABC ein Dreieck, und man verlängere eine seiner Seiten, BC, bis D. Behauptung: Der Außenwinkel ACD ist den beiden innen gegenüberliegenden Winkeln CAB, ABC zusammen gleich, und die drei Innenwinkel des Dreiecks, ABC, BCA, CAB, sind zusammen zwei Rechten gleich. (Ziehen Sie die Ecken.)
  2. Durch den Punkt C ziehe man CE parallel zur Geraden AB.
    Proposition I.31
    Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
  3. Da AB parallel zu CE ist und AC auf sie fällt, sind die Wechselwinkel BAC, ACE einander gleich.
    Proposition I.29
    Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
  4. Ebenso ist, da AB parallel zu CE ist und die Gerade BD auf sie fällt, der Außenwinkel ECD gleich dem innen gegenüberliegenden Winkel ABC.
    Proposition I.29
    Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
  5. Es wurde aber auch gezeigt, dass der Winkel ACE gleich dem Winkel BAC ist; also ist der ganze Winkel ACD den beiden innen gegenüberliegenden Winkeln BAC, ABC gleich.
    Axiom 2
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
  6. Man füge beiderseits den Winkel ACB hinzu; dann sind die Winkel ACD, ACB den drei Winkeln ABC, BCA, CAB gleich. Die Winkel ACD, ACB sind aber zusammen zwei Rechten gleich; also sind auch die drei Winkel des Dreiecks zusammen zwei Rechten gleich.
    Proposition I.13
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.