命題 I.32 · 定理
任意の三角形において、1 辺を延長すれば、外角は 2 つの内対角の和に等しく、三角形の 3 つの内角の和は 2 直角に等しい。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABC を三角形とし、その 1 辺 BC を D まで延長する。主張：外角 ACD は 2 つの内対角 CAB、ABC の和に等しく、三角形の 3 つの内角 ABC、BCA、CAB の和は 2 直角に等しい。（頂点をドラッグしてみてください。）
- 点 C を通って直線 AB に平行に CE を引く。命題 I.31命題 I.31：与えられた点を通って、与えられた直線に平行な直線を引くこと。
- AB は CE に平行で、AC がこれらに交わるから、錯角 BAC、ACE は互いに等しい。命題 I.29命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
- また AB は CE に平行で、直線 BD がこれらに交わるから、外角 ECD は内対角 ABC に等しい。命題 I.29命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
- そして角 ACE は角 BAC に等しいことが示された。よって角 ACD 全体は 2 つの内対角 BAC、ABC の和に等しい。公理 2公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
- それぞれに角 ACB を加えると、角 ACD、ACB の和は 3 角 ABC、BCA、CAB の和に等しい。しかし角 ACD、ACB の和は 2 直角に等しい。よって三角形の 3 つの角の和も 2 直角に等しい。命題 I.13命題 I.13：直線が直線の上に立って角をつくるならば、2 直角か、または 2 直角に等しい角をつくる。
これが証明すべきことであった。