Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soit ABC un triangle, et prolongeons l'un de ses côtés, BC, jusqu'en D. Je dis que l'angle extérieur ACD est égal aux deux angles intérieurs et opposés CAB, ABC, et que les trois angles intérieurs du triangle, ABC, BCA, CAB, sont égaux à deux droits. (Essayez de déplacer les sommets.)
2. Par le point C, menons CE parallèle à la droite AB.

   Proposition I.31

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.
3. Puisque AB est parallèle à CE et que AC tombe sur elles, les angles alternes BAC, ACE sont égaux entre eux.

   Proposition I.29

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
4. De même, puisque AB est parallèle à CE et que la droite BD tombe sur elles, l'angle extérieur ECD est égal à l'angle intérieur et opposé ABC.

   Proposition I.29

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
5. Mais on a aussi démontré que l'angle ACE est égal à l'angle BAC ; donc l'angle entier ACD est égal aux deux angles intérieurs et opposés BAC, ABC.

   Notion commune 2

   Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
6. Ajoutons à chacun l'angle ACB ; les angles ACD, ACB sont alors égaux aux trois angles ABC, BCA, CAB. Mais les angles ACD, ACB sont égaux à deux droits ; donc les trois angles du triangle sont aussi égaux à deux droits.

   Proposition I.13

   Proposition I.13 : Si une droite élevée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou des angles égaux à deux droits.

Ce qu'il fallait démontrer.