أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن AB، CD متساويين متوازيين، وليصل الخطان المستقيمان AC، BD طرفيهما في جهة واحدة. فنقول: إن AC، BD أيضًا متساويان متوازيان. (جرّب سحب A، B، C.)
2. نصل BC.

   المصادرة 1

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
3. لأن AB موازٍ لـ CD، وقد وقع عليهما BC، فالزاويتان المتبادلتان ABC، BCD متساويتان.

   القضية I.29

   القضية I.29: الخط المستقيم الواقع على خطين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، والخارجة مساوية للداخلة المقابلة، والداخلتين في جهة واحدة مساويتين لقائمتين.
4. لأن AB مساوٍ لـ CD، وBC مشترك، والزاوية ABC مساوية للزاوية BCD، فالقاعدة AC مساوية للقاعدة BD، والمثلث ABC مساوٍ للمثلث DCB، والزاوية ACB مساوية للزاوية CBD.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
5. ولأن الخط BC الواقع على الخطين AC، BD جعل الزاويتين المتبادلتين ACB، CBD متساويتين، فـ AC موازٍ لـ BD. وقد تبيّن أن AC مساوٍ لـ BD.

   القضية I.27

   القضية I.27: إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، فإن الخطين متوازيان.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.