Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient AB, CD égales et parallèles, et que les droites AC, BD joignent leurs extrémités dans le même sens. Je dis que AC, BD sont aussi égales et parallèles. (Essayez de déplacer A, B, C.)
2. Menons BC.

   Demande 1

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Puisque AB est parallèle à CD et que BC tombe sur elles, les angles alternes ABC, BCD sont égaux entre eux.

   Proposition I.29

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
4. Puisque AB est égale à CD et que BC est commune, et que l'angle ABC est égal à l'angle BCD, la base AC est égale à la base BD, le triangle ABC est égal au triangle DCB, et l'angle ACB est égal à l'angle CBD.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
5. Puisque la droite BC, tombant sur les deux droites AC, BD, fait les angles alternes ACB, CBD égaux, AC est parallèle à BD. Et on a aussi démontré que AC est égale à BD.

   Proposition I.27

   Proposition I.27 : Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces droites seront parallèles.

Ce qu'il fallait démontrer.