Euklids Elemente Buch I

1. AB, CD seien gleich und parallel, und die Geraden AC, BD mögen ihre Endpunkte auf derselben Seite verbinden. Behauptung: Auch AC, BD sind gleich und parallel. (Ziehen Sie A, B, C.)
2. Man ziehe BC.

   Postulat 1

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
3. Da AB parallel zu CD ist und BC auf sie fällt, sind die Wechselwinkel ABC, BCD einander gleich.

   Proposition I.29

   Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
4. Da AB gleich CD und BC gemeinsam ist und der Winkel ABC gleich dem Winkel BCD, ist die Grundlinie AC gleich der Grundlinie BD, das Dreieck ABC gleich dem Dreieck DCB und der Winkel ACB gleich dem Winkel CBD.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
5. Da die Gerade BC, die auf die zwei Geraden AC, BD fällt, die Wechselwinkel ACB, CBD gleich macht, ist AC parallel zu BD. Und es wurde auch gezeigt, dass AC gleich BD ist.

   Proposition I.27

   Proposition I.27: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien einander gleiche Wechselwinkel bildet, dann sind diese geraden Linien einander parallel.

Das war zu beweisen.