यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए AB, CD बराबर और समांतर हैं, और सरल रेखाएँ AC, BD उनके सिरों को एक ही दिशा में जोड़ती हैं। दावा: AC, BD भी बराबर और समांतर हैं। (A, B, C को खींचकर देखिए।)
2. BC मिलाइए।

   अभिगृहीत 1

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
3. चूँकि AB, CD के समांतर है और BC उन पर पड़ती है, इसलिए एकांतर कोण ABC, BCD परस्पर बराबर हैं।

   साध्य I.29

   साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
4. चूँकि AB, CD के बराबर है और BC उभयनिष्ठ है, और कोण ABC कोण BCD के बराबर है, इसलिए आधार AC आधार BD के बराबर है, त्रिभुज ABC त्रिभुज DCB के बराबर है, और कोण ACB कोण CBD के बराबर है।

   साध्य I.4

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
5. चूँकि सरल रेखा BC दो सरल रेखाओं AC, BD पर पड़कर एकांतर कोण ACB, CBD बराबर बनाती है, इसलिए AC, BD के समांतर है। और AC, BD के बराबर भी सिद्ध हो चुकी है।

   साध्य I.27

   साध्य I.27: यदि दो सरल रेखाओं पर पड़ने वाली एक सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर बनाए, तो वे सरल रेखाएँ परस्पर समांतर होंगी।

यही सिद्ध करना था।