命题 I.33 · 定理
在同一侧连接相等且平行的线段端点的线段，也相等且平行。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 AB、CD 是相等且平行的两条直线，直线 AC、BD 在同一方向连接它们的端点。断言：AC、BD 也相等且平行。（拖动 A、B、C 试试。）
- 连接 BC。公设 1公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
- 因为 AB 平行于 CD，而 BC 落在它们上面，所以内错角 ∠ABC、∠BCD 相等。命题 I.29命题 I.29：一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
- 因为 AB 等于 CD，BC 是公共边，夹角 ∠ABC 等于 ∠BCD，所以底 AC 等于底 BD，三角形 ABC 全等于三角形 DCB，∠ACB 等于 ∠CBD。命题 I.4命题 I.4：若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。
- 因为直线 BC 落在两条直线 AC、BD 上，所成的内错角 ∠ACB、∠CBD 相等，所以 AC 平行于 BD。而前面已证 AC 等于 BD。命题 I.27命题 I.27：若一直线与两直线相交，所成的错角彼此相等，则这两直线平行。
这就是所要证明的。