أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ACDB سطحًا متوازي الأضلاع، وBC قطره. فنقول: إن الأضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة من متوازي الأضلاع ACDB متساوية، وإن القطر BC ينصّفه. (جرّب سحب A، B، C.)
2. نصل القطر BC.

   المصادرة 1

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
3. لأن AB موازٍ لـ CD، وقد وقع عليهما الخط BC، فالزاويتان المتبادلتان ABC، BCD متساويتان.

   القضية I.29

   القضية I.29: الخط المستقيم الواقع على خطين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، والخارجة مساوية للداخلة المقابلة، والداخلتين في جهة واحدة مساويتين لقائمتين.
4. وأيضًا لأن AC موازٍ لـ BD، وقد وقع عليهما BC، فالزاويتان المتبادلتان ACB، CBD متساويتان.

   القضية I.29

   القضية I.29: الخط المستقيم الواقع على خطين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، والخارجة مساوية للداخلة المقابلة، والداخلتين في جهة واحدة مساويتين لقائمتين.
5. فالمثلثان ABC، DCB زاويتاهما ABC، BCA مساويتان للزاويتين DCB، CBD كلٌّ لنظيرتها، والضلع BC الذي بينهما مشترك؛ فـ AB مساوٍ لـ CD، وAC لـ BD، والزاوية BAC للزاوية CDB.

   القضية I.26

   القضية I.26: إذا كانت زاويتان من مثلث مساويتين لزاويتين من مثلث آخر كلٌّ لنظيرتها، وكان ضلع مساويًا لضلع، إما المحاذي للزاويتين المتساويتين وإما المقابل لإحداهما، فإن الضلعين الباقيين يساويان الضلعين الباقيين، والزاوية الباقية تساوي الزاوية الباقية.
6. ولأن الزاوية ABC مساوية للزاوية BCD، والزاوية CBD للزاوية ACB، فالزاوية ABD كلها مساوية للزاوية ACD كلها.

   العلم المتعارف 2

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.
7. ولأن AB مساوٍ لـ CD، وBC مشترك، والزاوية ABC مساوية للزاوية BCD، فالمثلث ABC مساوٍ للمثلث DCB؛ فالقطر BC ينصّف متوازي الأضلاع ACDB.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.