Euklids Elemente Buch I

1. Es sei ACDB ein Parallelogramm und BC seine Diagonale. Behauptung: Im Parallelogramm ACDB sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale BC halbiert es. (Ziehen Sie A, B, C.)
2. Man ziehe die Diagonale BC.

   Postulat 1

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
3. Da AB parallel zu CD ist und die Gerade BC auf sie fällt, sind die Wechselwinkel ABC, BCD einander gleich.

   Proposition I.29

   Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
4. Ebenso sind, da AC parallel zu BD ist und BC auf sie fällt, die Wechselwinkel ACB, CBD einander gleich.

   Proposition I.29

   Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
5. Also haben die Dreiecke ABC, DCB die zwei Winkel ABC, BCA den zwei Winkeln DCB, CBD gleich und die anliegende Seite BC gemeinsam; also ist AB gleich CD, AC gleich BD und der Winkel BAC gleich dem Winkel CDB.

   Proposition I.26

   Proposition I.26: Wenn in zwei Dreiecken zwei Winkel zwei Winkeln entsprechend gleich sind und eine Seite einer Seite, entweder die den gleichen Winkeln anliegende oder die einem der gleichen Winkel gegenüberliegende, dann sind auch die übrigen Seiten den übrigen Seiten und der übrige Winkel dem übrigen Winkel gleich.
6. Und da der Winkel ABC gleich dem Winkel BCD und der Winkel CBD gleich dem Winkel ACB ist, ist der ganze Winkel ABD gleich dem ganzen Winkel ACD.

   Axiom 2

   Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
7. Da AB gleich CD und BC gemeinsam ist und der Winkel ABC gleich dem Winkel BCD, ist das Dreieck ABC dem Dreieck DCB gleich; also halbiert die Diagonale BC das Parallelogramm ACDB.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.

Das war zu beweisen.