Proposición I.34 · Teorema
En los paralelogramos, los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal los divide en dos partes iguales.
Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
- Sea ACDB un área paralelogramo y BC su diagonal. Se afirma que los lados y ángulos opuestos del paralelogramo ACDB son iguales entre sí, y que la diagonal BC lo divide en dos partes iguales. (Prueba a arrastrar A, B, C.)
- Trácese la diagonal BC.Postulado 1Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
- Como AB es paralela a CD y la recta BC ha caído sobre ellas, los ángulos alternos ABC, BCD son iguales entre sí.Proposición I.29Proposición I.29: Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.
- De nuevo, como AC es paralela a BD y BC ha caído sobre ellas, los ángulos alternos ACB, CBD son iguales entre sí.Proposición I.29Proposición I.29: Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.
- Así, ABC, DCB son dos triángulos que tienen los dos ángulos ABC, BCA iguales respectivamente a los dos ángulos DCB, CBD, y el lado BC entre ellos común; por tanto AB es igual a CD, AC a BD, y el ángulo BAC al ángulo CDB.Proposición I.26Proposición I.26: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales respectivamente a dos ángulos y un lado igual a un lado, ya sea el adyacente a los ángulos iguales o el que subtiende uno de ellos, tendrán también los lados restantes iguales a los lados restantes y el ángulo restante igual al ángulo restante.
- Como el ángulo ABC es igual al ángulo BCD, y el ángulo CBD al ángulo ACB, el ángulo entero ABD es igual al ángulo entero ACD.Noción común 2Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.
- Como AB es igual a CD y BC es común, y el ángulo ABC es igual al ángulo BCD, el triángulo ABC es igual al triángulo DCB; por tanto la diagonal BC divide el paralelogramo ACDB en dos partes iguales.Proposición I.4Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
Que es lo que había que demostrar.