命题 I.34 · 定理
平行四边形的对边相等，对角相等，且对角线二等分其面积。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 ACDB 是平行四边形，BC 是它的对角线。断言：平行四边形 ACDB 的对边、对角分别相等，而且对角线 BC 把它平分。（拖动 A、B、C 试试。）
- 连接对角线 BC。公设 1公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
- 因为 AB 平行于 CD，而 BC 落在它们上面，所以内错角 ∠ABC、∠BCD 相等。命题 I.29命题 I.29：一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
- 又因为 AC 平行于 BD，而 BC 落在它们上面，所以内错角 ∠ACB、∠CBD 相等。命题 I.29命题 I.29：一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
- 于是在三角形 ABC、DCB 中，两个角 ∠ABC、∠BCA 分别等于两个角 ∠DCB、∠CBD，它们之间的边 BC 是公共的，所以 AB 等于 CD，AC 等于 BD，∠BAC 等于 ∠CDB。命题 I.26命题 I.26：若两个三角形有两角分别相等，且一边相等（夹边或等角的对边），则其余的边和角也分别相等。
- 又因为 ∠ABC 等于 ∠BCD，∠CBD 等于 ∠ACB，所以整个 ∠ABD 等于整个 ∠ACD。公理 2公理 2：等量加等量，其和仍相等。
- 因为 AB 等于 CD，BC 是公共边，夹角 ∠ABC 等于 ∠BCD，所以三角形 ABC 等于三角形 DCB，对角线 BC 平分平行四边形 ACDB。命题 I.4命题 I.4：若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。
这就是所要证明的。