यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए ACDB एक समांतर चतुर्भुज है, और BC उसका विकर्ण है। दावा: समांतर चतुर्भुज ACDB की आमने-सामने की भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर हैं, और विकर्ण BC उसे समद्विभाजित करता है। (A, B, C को खींचकर देखिए।)
2. विकर्ण BC मिलाइए।

   अभिगृहीत 1

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
3. चूँकि AB, CD के समांतर है और सरल रेखा BC उन पर पड़ती है, इसलिए एकांतर कोण ABC, BCD परस्पर बराबर हैं।

   साध्य I.29

   साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
4. फिर, चूँकि AC, BD के समांतर है और BC उन पर पड़ती है, इसलिए एकांतर कोण ACB, CBD परस्पर बराबर हैं।

   साध्य I.29

   साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
5. अतः ABC, DCB दो त्रिभुज हैं जिनके दो कोण ABC, BCA क्रमशः दो कोणों DCB, CBD के बराबर हैं, और उनके बीच की भुजा BC उभयनिष्ठ है; इसलिए AB, CD के बराबर है, AC, BD के बराबर है, और कोण BAC कोण CDB के बराबर है।

   साध्य I.26

   साध्य I.26: यदि दो त्रिभुजों के दो कोण क्रमशः दो कोणों के बराबर हों और एक भुजा एक भुजा के बराबर हो, चाहे वह बराबर कोणों से लगी भुजा हो या किसी बराबर कोण के सामने की, तो शेष भुजाएँ शेष भुजाओं के और शेष कोण शेष कोण के बराबर होंगे।
6. और चूँकि कोण ABC कोण BCD के बराबर है, और कोण CBD कोण ACB के बराबर है, इसलिए पूरा कोण ABD पूरे कोण ACD के बराबर है।

   स्वयंसिद्ध 2

   स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
7. चूँकि AB, CD के बराबर है और BC उभयनिष्ठ है, और कोण ABC कोण BCD के बराबर है, इसलिए त्रिभुज ABC त्रिभुज DCB के बराबर है; अतः विकर्ण BC समांतर चतुर्भुज ACDB को समद्विभाजित करता है।

   साध्य I.4

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।

यही सिद्ध करना था।