ユークリッド原論 第1巻

1. ACDB を平行四辺形、BC をその対角線とする。主張：平行四辺形 ACDB の対辺と対角は互いに等しく、対角線 BC はそれを 2 等分する。（A、B、C をドラッグしてみてください。）
2. 対角線 BC を結ぶ。

   公準 1

   公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
3. AB は CD に平行で、直線 BC がこれらに交わるから、錯角 ABC、BCD は互いに等しい。

   命題 I.29

   命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
4. また AC は BD に平行で、BC がこれらに交わるから、錯角 ACB、CBD は互いに等しい。

   命題 I.29

   命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
5. よって ABC、DCB は 2 角 ABC、BCA がそれぞれ 2 角 DCB、CBD に等しく、その間の辺 BC を共有する 2 つの三角形である。ゆえに AB は CD に、AC は BD に、角 BAC は角 CDB に等しい。

   命題 I.26

   命題 I.26：2 つの三角形が 2 角をそれぞれ 2 角に等しくもち、1 辺、すなわち等しい角にはさまれた辺か、等しい角の一方に対する辺が等しければ、残りの辺も残りの辺に、残りの角も残りの角に等しい。
6. そして角 ABC は角 BCD に、角 CBD は角 ACB に等しいから、角 ABD 全体は角 ACD 全体に等しい。

   公理 2

   公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
7. AB は CD に等しく、BC は共通で、角 ABC は角 BCD に等しいから、三角形 ABC は三角形 DCB に等しい。よって対角線 BC は平行四辺形 ACDB を 2 等分する。

   命題 I.4

   命題 I.4：2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、等しい直線にはさまれた角が等しいならば、底辺も底辺に等しく、三角形は三角形に等しく、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい。

これが証明すべきことであった。