Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soit ACDB une surface parallélogramme et BC sa diagonale. Je dis que les côtés et les angles opposés du parallélogramme ACDB sont égaux entre eux, et que la diagonale BC le partage en deux parties égales. (Essayez de déplacer A, B, C.)
2. Menons la diagonale BC.

   Demande 1

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Puisque AB est parallèle à CD et que la droite BC tombe sur elles, les angles alternes ABC, BCD sont égaux entre eux.

   Proposition I.29

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
4. De même, puisque AC est parallèle à BD et que BC tombe sur elles, les angles alternes ACB, CBD sont égaux entre eux.

   Proposition I.29

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
5. Ainsi ABC, DCB sont deux triangles ayant les deux angles ABC, BCA égaux respectivement aux deux angles DCB, CBD, et le côté BC adjacent commun ; donc AB est égale à CD, AC à BD, et l'angle BAC à l'angle CDB.

   Proposition I.26

   Proposition I.26 : Si deux triangles ont deux angles égaux à deux angles, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, soit celui qui est adjacent aux angles égaux, soit celui qui sous-tend l'un des angles égaux, ils auront aussi les côtés restants égaux aux côtés restants et l'angle restant égal à l'angle restant.
6. Et puisque l'angle ABC est égal à l'angle BCD, et l'angle CBD à l'angle ACB, l'angle entier ABD est égal à l'angle entier ACD.

   Notion commune 2

   Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
7. Puisque AB est égale à CD et que BC est commune, et que l'angle ABC est égal à l'angle BCD, le triangle ABC est égal au triangle DCB ; donc la diagonale BC partage le parallélogramme ACDB en deux parties égales.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.

Ce qu'il fallait démontrer.