Начала Евклида Книга I

1. Пусть ACDB — параллелограмм, а BC — его диаметр. Утверждается, что противоположные стороны и углы параллелограмма ACDB равны между собой, и диаметр BC делит его пополам. (Попробуйте перетащить A, B, C.)
2. Проведём диаметр BC.

   Постулат 1

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
3. Так как AB параллельна CD, а прямая BC падает на них, накрест лежащие углы ABC, BCD равны между собой.

   Предложение I.29

   Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
4. Далее, так как AC параллельна BD, а BC падает на них, накрест лежащие углы ACB, CBD равны между собой.

   Предложение I.29

   Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
5. Итак, ABC, DCB — два треугольника, у которых два угла ABC, BCA соответственно равны двум углам DCB, CBD, а сторона BC между ними общая; значит, AB равна CD, AC равна BD, и угол BAC равен углу CDB.

   Предложение I.26

   Предложение I.26: Если два треугольника имеют два угла, равные соответственно двум углам, и одну сторону, равную одной стороне, — либо прилежащую к равным углам, либо стягивающую один из равных углов, — то они будут иметь и остальные стороны равными остальным сторонам, и остальной угол — остальному углу.
6. И так как угол ABC равен углу BCD, а угол CBD равен углу ACB, то весь угол ABD равен всему углу ACD.

   Аксиома 2

   Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
7. Так как AB равна CD, BC общая, и угол ABC равен углу BCD, то треугольник ABC равен треугольнику DCB; значит, диаметр BC делит параллелограмм ACDB пополам.

   Предложение I.4

   Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.

Что и требовалось доказать.