أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABCD، EBCF متوازيي أضلاع على قاعدة واحدة BC وبين خطين متوازيين بعينهما AF، BC. فنقول: إن متوازي الأضلاع ABCD مساوٍ لمتوازي الأضلاع EBCF. (جرّب سحب A أو B أو C أو E.)
2. لأن ABCD متوازي أضلاع، فـ AD مساوٍ لـ BC. ولمثل ذلك EF أيضًا مساوٍ لـ BC؛ فـ AD مساوٍ لـ EF.

   القضية I.34العلم المتعارف 1

   القضية I.34: في السطوح المتوازية الأضلاع، الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية، والقطر يقسمها بنصفين.

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.
3. نزيد على كلٍّ منهما DE، فـ AE كله مساوٍ لـ DF كله.

   العلم المتعارف 2

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.
4. وAB أيضًا مساوٍ لـ DC، والزاوية الخارجة FDC مساوية للزاوية الداخلة EAB.

   القضية I.34القضية I.29

   القضية I.34: في السطوح المتوازية الأضلاع، الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية، والقطر يقسمها بنصفين.

   القضية I.29: الخط المستقيم الواقع على خطين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين، والخارجة مساوية للداخلة المقابلة، والداخلتين في جهة واحدة مساويتين لقائمتين.
5. فالضلعان EA، AB مساويان للضلعين FD، DC، ويحيطان بزاويتين متساويتين؛ فالمثلث EAB مساوٍ للمثلث FDC.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
6. ليتقاطع BE، DC عند G، ولننقص من كلٍّ منهما المثلث DGE، فيبقى شبه المنحرف ABGD مساويًا لشبه المنحرف الباقي EGCF.

   العلم المتعارف 3

   العلم المتعارف 3: إذا نُقصت من المتساويات أشياء متساوية كانت البواقي متساوية.
7. نزيد على كلٍّ منهما المثلث GBC، فمتوازي الأضلاع ABCD كله مساوٍ لمتوازي الأضلاع EBCF كله.

   العلم المتعارف 2

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.