Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.35 · Lehrsatz

Parallelogramme auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. ABCD, EBCF seien Parallelogramme auf derselben Grundlinie BC und zwischen denselben Parallelen AF, BC. Behauptung: Das Parallelogramm ABCD ist dem Parallelogramm EBCF gleich. (Ziehen Sie A, B, C oder E.)
  2. Da ABCD ein Parallelogramm ist, ist AD gleich BC. Aus demselben Grund ist auch EF gleich BC; also ist AD gleich EF.
    Proposition I.34Axiom 1
    Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
  3. Man füge beiderseits DE hinzu; dann ist die ganze AE gleich der ganzen DF.
    Axiom 2
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
  4. Ferner ist AB gleich DC, und der Außenwinkel FDC ist gleich dem Innenwinkel EAB.
    Proposition I.34Proposition I.29
    Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.
    Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
  5. Also sind die zwei Seiten EA, AB den zwei Seiten FD, DC gleich und umfassen gleiche Winkel; also ist das Dreieck EAB dem Dreieck FDC gleich.
    Proposition I.4
    Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
  6. BE, DC mögen sich in G schneiden; man nehme beiderseits das Dreieck DGE weg; dann ist das übrige Trapez ABGD dem übrigen Trapez EGCF gleich.
    Axiom 3
    Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
  7. Man füge beiderseits das Dreieck GBC hinzu; dann ist das ganze Parallelogramm ABCD dem ganzen Parallelogramm EBCF gleich.
    Axiom 2
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.