命题 I.35 · 定理
在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 ABCD、EBCF 是在同一底 BC 上、并且在同一对平行线 AF、BC 之间的平行四边形。断言：平行四边形 ABCD 等于平行四边形 EBCF。（拖动 A、B、C 或 E 试试。）
- 因为 ABCD 是平行四边形，所以 AD 等于 BC。同理 EF 也等于 BC，所以 AD 等于 EF。命题 I.34公理 1命题 I.34：平行四边形的对边相等，对角相等，且对角线二等分其面积。公理 1：等于同量的量彼此相等。
- 两边各加上 DE，于是整个 AE 等于整个 DF。公理 2公理 2：等量加等量，其和仍相等。
- 又 AB 等于 DC，而外角 ∠FDC 等于内角 ∠EAB。命题 I.34命题 I.29命题 I.34：平行四边形的对边相等，对角相等，且对角线二等分其面积。命题 I.29：一直线与两平行直线相交，则所成的错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于两直角。
- 所以两边 EA、AB 分别等于两边 FD、DC，夹角也相等，于是三角形 EAB 等于三角形 FDC。命题 I.4命题 I.4：若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。
- 设 BE、DC 交于 G。两边各减去三角形 DGE，余下的梯形 ABGD 等于余下的梯形 EGCF。公理 3公理 3：等量减等量，其差仍相等。
- 两边各加上三角形 GBC，于是整个平行四边形 ABCD 等于整个平行四边形 EBCF。公理 2公理 2：等量加等量，其和仍相等。
这就是所要证明的。