命題 I.35 · 定理
同じ底辺の上にあり、同じ平行線の間にある平行四辺形は、互いに等しい。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABCD、EBCF を同じ底辺 BC の上にあり、同じ平行線 AF、BC の間にある平行四辺形とする。主張：平行四辺形 ABCD は平行四辺形 EBCF に等しい。（A、B、C、E をドラッグしてみてください。）
- ABCD は平行四辺形だから AD は BC に等しい。同じ理由で EF も BC に等しい。よって AD は EF に等しい。命題 I.34公理 1命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
- それぞれに DE を加えると、AE 全体は DF 全体に等しい。公理 2公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
- また AB は DC に等しく、外角 FDC は内角 EAB に等しい。命題 I.34命題 I.29命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。
- よって 2 辺 EA、AB は 2 辺 FD、DC に等しく、はさむ角も等しいから、三角形 EAB は三角形 FDC に等しい。命題 I.4命題 I.4：2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、等しい直線にはさまれた角が等しいならば、底辺も底辺に等しく、三角形は三角形に等しく、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい。
- BE、DC が G で交わるとし、それぞれから三角形 DGE を引くと、残りの台形 ABGD は残りの台形 EGCF に等しい。公理 3公理 3：等しいものから等しいものが引かれれば、残りは等しい。
- それぞれに三角形 GBC を加えると、平行四辺形 ABCD 全体は平行四辺形 EBCF 全体に等しい。公理 2公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
これが証明すべきことであった。