Начала Евклида Книга I

23 определения · 5 постулатов · 5 аксиом · 48 предложений

Предложение I.35 · Теорема

Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными, равны между собой.

Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
  1. Пусть ABCD, EBCF — параллелограммы на одном основании BC и между одними и теми же параллельными AF, BC. Утверждается, что параллелограмм ABCD равен параллелограмму EBCF. (Попробуйте перетащить A, B, C или E.)
  2. Так как ABCD — параллелограмм, AD равна BC. По той же причине и EF равна BC; так что AD равна EF.
    Предложение I.34Аксиома 1
    Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.
    Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
  3. Прибавим к каждой DE; значит, вся AE равна всей DF.
    Аксиома 2
    Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
  4. Но и AB равна DC, а внешний угол FDC равен внутреннему углу EAB.
    Предложение I.34Предложение I.29
    Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.
    Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
  5. Значит, две стороны EA, AB равны двум сторонам FD, DC и заключают равные углы; поэтому треугольник EAB равен треугольнику FDC.
    Предложение I.4
    Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
  6. Пусть BE, DC пересекаются в точке G; отнимем от каждого треугольник DGE; тогда остающаяся трапеция ABGD равна остающейся трапеции EGCF.
    Аксиома 3
    Аксиома 3: И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
  7. Прибавим к каждой треугольник GBC; значит, весь параллелограмм ABCD равен всему параллелограмму EBCF.
    Аксиома 2
    Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.