साध्य I.35 · प्रमेय
एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज परस्पर बराबर होते हैं।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABCD, EBCF एक ही आधार BC पर और एक ही समांतर रेखाओं AF, BC के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज हैं। दावा: समांतर चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज EBCF के बराबर है। (A, B, C या E को खींचकर देखिए।)
- चूँकि ABCD समांतर चतुर्भुज है, इसलिए AD, BC के बराबर है। इसी कारण EF भी BC के बराबर है; अतः AD, EF के बराबर है।साध्य I.34स्वयंसिद्ध 1साध्य I.34: समांतर चतुर्भुजों में सम्मुख भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर होते हैं, और विकर्ण उसे समद्विभाजित करता है।स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
- दोनों में DE जोड़िए; तो पूरी AE पूरी DF के बराबर है।स्वयंसिद्ध 2स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
- AB भी DC के बराबर है, और बहिष्कोण FDC अंतः कोण EAB के बराबर है।साध्य I.34साध्य I.29साध्य I.34: समांतर चतुर्भुजों में सम्मुख भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर होते हैं, और विकर्ण उसे समद्विभाजित करता है।साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।
- अतः दो भुजाएँ EA, AB दो भुजाओं FD, DC के बराबर हैं और बराबर कोण बनाती हैं; इसलिए त्रिभुज EAB त्रिभुज FDC के बराबर है।साध्य I.4साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
- मान लीजिए BE, DC बिंदु G पर काटती हैं; दोनों में से त्रिभुज DGE घटाइए; तो शेष समलंब ABGD शेष समलंब EGCF के बराबर है।स्वयंसिद्ध 3स्वयंसिद्ध 3: यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं।
- दोनों में त्रिभुज GBC जोड़िए; तो पूरा समांतर चतुर्भुज ABCD पूरे समांतर चतुर्भुज EBCF के बराबर है।स्वयंसिद्ध 2स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
यही सिद्ध करना था।