Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient ABCD, EBCF des parallélogrammes sur la même base BC et entre les mêmes parallèles AF, BC. Je dis que le parallélogramme ABCD est égal au parallélogramme EBCF. (Essayez de déplacer A, B, C ou E.)
2. Puisque ABCD est un parallélogramme, AD est égale à BC. Pour la même raison EF est aussi égale à BC ; de sorte que AD est égale à EF.

   Proposition I.34Notion commune 1

   Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
3. Ajoutons à chacune DE ; donc la droite entière AE est égale à la droite entière DF.

   Notion commune 2

   Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
4. Mais AB est aussi égale à DC, et l'angle extérieur FDC est égal à l'angle intérieur EAB.

   Proposition I.34Proposition I.29

   Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
5. Donc les deux côtés EA, AB sont égaux aux deux côtés FD, DC, et ils comprennent des angles égaux ; ainsi le triangle EAB est égal au triangle FDC.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
6. Que BE, DC se coupent en G, et retranchons de part et d'autre le triangle DGE ; le trapèze restant ABGD est égal au trapèze restant EGCF.

   Notion commune 3

   Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.
7. Ajoutons de part et d'autre le triangle GBC ; donc le parallélogramme entier ABCD est égal au parallélogramme entier EBCF.

   Notion commune 2

   Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.

Ce qu'il fallait démontrer.