Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.35 · Teorema

Los paralelogramos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales entre sí.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sean ABCD, EBCF paralelogramos sobre la misma base BC y entre las mismas paralelas AF, BC. Se afirma que el paralelogramo ABCD es igual al paralelogramo EBCF. (Prueba a arrastrar A, B, C o E.)
  2. Como ABCD es un paralelogramo, AD es igual a BC. Por la misma razón EF es también igual a BC; de modo que AD es igual a EF.
    Proposición I.34Noción común 1
    Proposición I.34: En los paralelogramos, los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal los divide en dos partes iguales.
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  3. Añádase a cada uno DE; por tanto la entera AE es igual a la entera DF.
    Noción común 2
    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.
  4. Pero AB es también igual a DC, y el ángulo exterior FDC es igual al ángulo interior EAB.
    Proposición I.34Proposición I.29
    Proposición I.34: En los paralelogramos, los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal los divide en dos partes iguales.
    Proposición I.29: Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.
  5. Por tanto los dos lados EA, AB son iguales a los dos lados FD, DC, y comprenden ángulos iguales; así el triángulo EAB es igual al triángulo FDC.
    Proposición I.4
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
  6. Córtense BE, DC en G, y quítese de cada uno el triángulo DGE; el trapecio restante ABGD es igual al trapecio restante EGCF.
    Noción común 3
    Noción común 3: Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
  7. Añádase a cada uno el triángulo GBC; por tanto el paralelogramo entero ABCD es igual al paralelogramo entero EBCF.
    Noción común 2
    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.