Euklids Elemente Buch I

1. ABCD, EFGH seien Parallelogramme auf den gleichen Grundlinien BC, FG und zwischen denselben Parallelen AH, BG. Behauptung: Das Parallelogramm ABCD ist dem Parallelogramm EFGH gleich. (Ziehen Sie die Punkte.)
2. Man ziehe BE, CH.

   Postulat 1

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
3. Da BC gleich FG und FG gleich EH ist, ist auch BC gleich EH; und sie sind parallel.

   Proposition I.34Axiom 1

   Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
4. Also sind auch EB, HC, die sie an den Enden verbinden, gleich und parallel; also ist EBCH ein Parallelogramm.

   Proposition I.33

   Proposition I.33: Die Strecken, die gleiche und parallele Strecken auf denselben Seiten verbinden, sind selbst gleich und parallel.
5. Das Parallelogramm EBCH steht auf derselben Grundlinie BC wie ABCD und zwischen denselben Parallelen; also ist EBCH gleich ABCD.

   Proposition I.35

   Proposition I.35: Parallelogramme auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich.
6. Aus demselben Grund steht EBCH auf derselben Grundlinie EH wie EFGH; also ist EBCH gleich EFGH.

   Proposition I.35

   Proposition I.35: Parallelogramme auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich.
7. Also ist das Parallelogramm ABCD dem Parallelogramm EFGH gleich.

   Axiom 1

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.

Das war zu beweisen.