Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient ABCD, EFGH des parallélogrammes sur les bases égales BC, FG et entre les mêmes parallèles AH, BG. Je dis que le parallélogramme ABCD est égal au parallélogramme EFGH. (Essayez de déplacer les points.)
2. Menons BE, CH.

   Demande 1

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Puisque BC est égale à FG, et FG égale à EH, BC est aussi égale à EH ; et elles sont parallèles.

   Proposition I.34Notion commune 1

   Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
4. Donc EB, HC, qui les joignent par leurs extrémités, sont aussi égales et parallèles ; donc EBCH est un parallélogramme.

   Proposition I.33

   Proposition I.33 : Les droites qui joignent du même côté les extrémités de droites égales et parallèles sont elles-mêmes égales et parallèles.
5. Le parallélogramme EBCH est sur la même base BC que ABCD et entre les mêmes parallèles ; donc EBCH est égal à ABCD.

   Proposition I.35

   Proposition I.35 : Les parallélogrammes construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
6. Pour la même raison, EBCH est sur la même base EH que EFGH ; donc EBCH est égal à EFGH.

   Proposition I.35

   Proposition I.35 : Les parallélogrammes construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
7. Donc le parallélogramme ABCD est égal au parallélogramme EFGH.

   Notion commune 1

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

Ce qu'il fallait démontrer.