Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABCD, EFGH — параллелограммы на равных основаниях BC, FG и между одними и теми же параллельными AH, BG. Утверждается, что параллелограмм ABCD равен параллелограмму EFGH. (Попробуйте перетащить точки.)
2. Проведём BE, CH.

   Постулат 1

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
3. Так как BC равна FG, а FG равна EH, то и BC равна EH; и они параллельны.

   Предложение I.34Аксиома 1

   Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
4. Значит, и EB, HC, соединяющие их концы, равны и параллельны; следовательно, EBCH — параллелограмм.

   Предложение I.33

   Предложение I.33: Прямые, соединяющие с одной и той же стороны концы равных и параллельных прямых, и сами равны и параллельны.
5. Параллелограмм EBCH стоит на том же основании BC, что и ABCD, и между теми же параллельными; значит, EBCH равен ABCD.

   Предложение I.35

   Предложение I.35: Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
6. По той же причине EBCH стоит на том же основании EH, что и EFGH; значит, EBCH равен EFGH.

   Предложение I.35

   Предложение I.35: Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
7. Итак, параллелограмм ABCD равен параллелограмму EFGH.

   Аксиома 1

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.

Что и требовалось доказать.