साध्य I.36 · प्रमेय
बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज परस्पर बराबर होते हैं।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABCD, EFGH बराबर आधारों BC, FG पर और एक ही समांतर रेखाओं AH, BG के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज हैं। दावा: समांतर चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज EFGH के बराबर है। (बिंदुओं को खींचकर देखिए।)
- BE, CH मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि BC, FG के बराबर है, और FG, EH के बराबर है, इसलिए BC भी EH के बराबर है; और वे समांतर हैं।साध्य I.34स्वयंसिद्ध 1साध्य I.34: समांतर चतुर्भुजों में सम्मुख भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर होते हैं, और विकर्ण उसे समद्विभाजित करता है।स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
- अतः उनके सिरों को जोड़ने वाली EB, HC भी बराबर और समांतर हैं; इसलिए EBCH समांतर चतुर्भुज है।साध्य I.33साध्य I.33: बराबर और समांतर सरल रेखाओं के एक ही ओर के सिरों को मिलाने वाली सरल रेखाएँ स्वयं भी बराबर और समांतर होती हैं।
- समांतर चतुर्भुज EBCH, ABCD के साथ एक ही आधार BC पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच है; अतः EBCH, ABCD के बराबर है।साध्य I.35साध्य I.35: एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज परस्पर बराबर होते हैं।
- इसी कारण EBCH, EFGH के साथ एक ही आधार EH पर है; अतः EBCH, EFGH के बराबर है।साध्य I.35साध्य I.35: एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज परस्पर बराबर होते हैं।
- इसलिए समांतर चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज EFGH के बराबर है।स्वयंसिद्ध 1स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
यही सिद्ध करना था।