Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient ABC, DBC des triangles sur la même base BC et entre les mêmes parallèles AD, BC. Je dis que le triangle ABC est égal au triangle DBC. (Essayez de déplacer A, B, C ou D.)
2. Prolongeons AD des deux côtés jusqu'en E, F ; par B menons BE parallèle à CA, et par C menons CF parallèle à BD.

   Demande 2Proposition I.31

   Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.
3. Alors chacune des figures EBCA, DBCF est un parallélogramme ; elles sont sur la même base BC et entre les mêmes parallèles BC, EF ; donc elles sont égales.

   Proposition I.35

   Proposition I.35 : Les parallélogrammes construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
4. La diagonale AB partage en deux parties égales le parallélogramme EBCA, donc le triangle ABC est la moitié de EBCA ; et la diagonale DC partage DBCF, donc le triangle DBC est la moitié de DBCF.

   Proposition I.34

   Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.
5. Or les moitiés de choses égales sont égales entre elles ; donc le triangle ABC est égal au triangle DBC.

Ce qu'il fallait démontrer.