命題 I.37 · 定理
同じ底辺の上にあり、同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABC、DBC を同じ底辺 BC の上にあり、同じ平行線 AD、BC の間にある三角形とする。主張：三角形 ABC は三角形 DBC に等しい。（A、B、C、D をドラッグしてみてください。）
- AD を両方向に E、F まで延長し、B を通って CA に平行に BE を、C を通って BD に平行に CF を引く。公準 2命題 I.31公準 2：有限な直線を連続して一直線に延長すること。命題 I.31：与えられた点を通って、与えられた直線に平行な直線を引くこと。
- すると EBCA、DBCF はどちらも平行四辺形であり、同じ底辺 BC の上、同じ平行線 BC、EF の間にあるから、互いに等しい。命題 I.35命題 I.35：同じ底辺の上にあり、同じ平行線の間にある平行四辺形は、互いに等しい。
- 対角線 AB は平行四辺形 EBCA を 2 等分するから、三角形 ABC は EBCA の半分である。対角線 DC は DBCF を 2 等分するから、三角形 DBC は DBCF の半分である。命題 I.34命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。
- 等しいものの半分どうしは互いに等しい。よって三角形 ABC は三角形 DBC に等しい。
これが証明すべきことであった。