साध्य I.37 · प्रमेय
एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज परस्पर बराबर होते हैं।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABC, DBC एक ही आधार BC पर और एक ही समांतर रेखाओं AD, BC के बीच स्थित त्रिभुज हैं। दावा: त्रिभुज ABC त्रिभुज DBC के बराबर है। (A, B, C या D को खींचकर देखिए।)
- AD को दोनों ओर E, F तक बढ़ाइए; B से होकर CA के समांतर BE खींचिए, और C से होकर BD के समांतर CF खींचिए।अभिगृहीत 2साध्य I.31अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।साध्य I.31: दिए गए बिंदु से होकर दी गई सरल रेखा के समांतर सरल रेखा खींचना।
- तब आकृतियाँ EBCA, DBCF दोनों समांतर चतुर्भुज हैं; वे एक ही आधार BC पर और एक ही समांतर रेखाओं BC, EF के बीच हैं; अतः वे बराबर हैं।साध्य I.35साध्य I.35: एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज परस्पर बराबर होते हैं।
- विकर्ण AB समांतर चतुर्भुज EBCA को समद्विभाजित करता है, अतः त्रिभुज ABC, EBCA का आधा है; और विकर्ण DC, DBCF को समद्विभाजित करता है, अतः त्रिभुज DBC, DBCF का आधा है।साध्य I.34साध्य I.34: समांतर चतुर्भुजों में सम्मुख भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर होते हैं, और विकर्ण उसे समद्विभाजित करता है।
- बराबर वस्तुओं के आधे भी परस्पर बराबर होते हैं; अतः त्रिभुज ABC त्रिभुज DBC के बराबर है।
यही सिद्ध करना था।