Предложение I.37 · Теорема
Треугольники, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть ABC, DBC — треугольники на одном основании BC и между одними и теми же параллельными AD, BC. Утверждается, что треугольник ABC равен треугольнику DBC. (Попробуйте перетащить A, B, C или D.)
- Продолжим AD в обе стороны до E, F; через B проведём BE параллельно CA, а через C проведём CF параллельно BD.Постулат 2Предложение I.31Постулат 2: И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.Предложение I.31: Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой.
- Тогда каждая из фигур EBCA, DBCF — параллелограмм; они стоят на одном основании BC и между одними параллельными BC, EF; значит, они равны.Предложение I.35Предложение I.35: Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
- Диаметр AB делит параллелограмм EBCA пополам, так что треугольник ABC — половина EBCA; а диаметр DC делит пополам DBCF, так что треугольник DBC — половина DBCF.Предложение I.34Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.
- Но половины равных равны между собой; значит, треугольник ABC равен треугольнику DBC.
Что и требовалось доказать.