أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC، DBC مثلثين متساويين على قاعدة واحدة BC وفي جهة واحدة منها. فنقول: إنهما بين خطين متوازيين بعينهما، أي إن AD موازٍ لـ BC. (جرّب سحب A أو B أو C أو D.)
2. وإلا فلنُخرج من النقطة A الخط AE موازيًا للخط BC، ونصل EC. (رُسمت E حيث يضعها هذا الفرض.)

   القضية I.31المصادرة 1

   القضية I.31: أن نُخرج من نقطة معلومة خطًا مستقيمًا موازيًا لخط مستقيم معلوم.

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
3. فيكون المثلث ABC مساويًا للمثلث EBC، لأنهما على القاعدة نفسها BC وبين المتوازيين نفسيهما.

   القضية I.37

   القضية I.37: المثلثات التي على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين بأعيانهما متساوية.
4. لكن ABC مساوٍ لـ DBC؛ فـ DBC أيضًا مساوٍ لـ EBC، الأعظم للأصغر، وهذا محال.

   العلم المتعارف 1العلم المتعارف 5

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.

   العلم المتعارف 5: الكل أعظم من الجزء.
5. فليس AE موازيًا لـ BC، ولا أي خط آخر غير AD. فـ AD موازٍ لـ BC.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.