Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.39 · Lehrsatz

Gleiche Dreiecke auf derselben Grundlinie und auf derselben Seite liegen auch zwischen denselben Parallelen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. ABC, DBC seien gleiche Dreiecke auf derselben Grundlinie BC und auf derselben Seite von ihr. Behauptung: Sie liegen auch zwischen denselben Parallelen, das heißt, AD ist parallel zu BC. (Ziehen Sie A, B, C oder D.)
  2. Andernfalls ziehe man durch den Punkt A die Gerade AE parallel zur Geraden BC und ziehe EC. (E ist so gezeichnet, wie diese Annahme es verlangen würde.)
    Proposition I.31Postulat 1
    Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. Dann ist das Dreieck ABC dem Dreieck EBC gleich, denn es steht auf derselben Grundlinie BC und zwischen denselben Parallelen.
    Proposition I.37
    Proposition I.37: Dreiecke auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich.
  4. Aber ABC ist gleich DBC; also wäre auch DBC gleich EBC, das größere dem kleineren, was unmöglich ist.
    Axiom 1Axiom 5
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.
  5. Also ist AE nicht parallel zu BC, und ebenso keine andere Gerade außer AD. Also ist AD parallel zu BC.