几何原本 卷一

1. 设 ABC、DBC 是在同一底 BC 上、在它同一侧的相等三角形。断言：它们在同一对平行线之间，即 AD 平行于 BC。（拖动 A、B、C 或 D 试试。）
2. 如果不然，过点 A 作 AE 平行于直线 BC，连接 EC。（图中的 E 是按这个假设画的。）

   命题 I.31公设 1

   命题 I.31：过一已知点作一直线平行于已知直线。

   公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
3. 那么三角形 ABC 等于三角形 EBC，因为它们在同一底 BC 上、在同一对平行线之间。

   命题 I.37

   命题 I.37：在同底上且在相同两平行线之间的三角形彼此相等。
4. 但 ABC 等于 DBC，所以 DBC 也等于 EBC，较大的等于较小的，这是不可能的。

   公理 1公理 5

   公理 1：等于同量的量彼此相等。

   公理 5：整体大于部分。
5. 所以 AE 不平行于 BC；同理，除 AD 以外的任何直线都不平行于 BC。所以 AD 平行于 BC。

这就是所要证明的。